Die Zahl Null Der indische Yogi Brahmagupta verwedet erstmals die Null als Zahl, während Bhaskhara das Symbol für die Null erinführte, rechnete Brahmagupta erstmals mit der Null. So gibt er eine Reihe von Rechenregeln mit der Null an Zunächst definiert er: When zero is added to a number or subtracted from a number, the number remains unchanged; and a number multiplied by zero becomes zero. Dann wendet er sich der Addition und Multiplikation zu: A debt minus zero is a debt. A fortune minus zero is a fortune. Zero minus zero is a zero. A debt subtracted from zero is a fortune. A fortune subtracted from zero is a debt. The product of zero multiplied by a debt or fortune is zero. The product of zero multipliedby zero is zero. The product or quotient of two fortunes is one fortune. The product or quotient of two debts is one fortune. The product or quotient of a debt and a fortune is a debt. The product or quotient of a fortune and a debt is a debt. Und schließlich der Division: Positive or negative numbers when divided by zero is a fraction the zero as denominator. Zero divided by negative or positive numbers is either zero or is expressed as a fraction with zero as numerator and the finite quantity as denominator. Zero divided by zero is zero. Während die Aussgage für den Fall mit nicht Eindeutig scheint, für a=0 postuliert er hingegen eine Lösung. Trigonometrie Brahmagupta gibt in seinem Werk eine Sinustabelle an. Zusätzlich verwendet er eine spezielle Variante des Newtonschen Interpolationsverfahren und gibt so eine Verfahren an, um neue Werte für Sinus aus bereits bekannten zu erhalten. Bhaskara Über das Leben Bhaskaras ist wenig bekannt, er erhielt seine astronomische Ausbildung von seinem Vater. Obwohl er als wichtigster Kommentator Aryabathiyas gilt, bezieht er sich häufig auf ein Werk mit der Bezeichnung Asmakatantra. Die Forschung geht davon aus, dass es sich bei Asmaka um eine astronomisch, mathematische Schule handelt, die auf den Werken Aryabathiyas beruht und ihren Sitz in der gleichnamigen Stadt in der Provinz Andhra Pradesh an der indischen Ostküste hatte. Da die beiden anderen in seinem Werken erwähnten Orte Vala und Sivarajapura beide in der Provinz Gujarat an der indischen Ostküste liegen, wird angenommen, dass es sich mit Gujarat um die Geburtsprovinz Bhaskara I. handelt und er später nach Asmaka zog. Er drei Werke zur Astronomie und Mathematik verfasst die die Namen Mahabhaskariya, Laghubhaskariya und Aryabhatiyabhasya tragen. Das Mahabhaskariya ist ein Standardwerk der Astronomie jener Zeit und enthält die typischen astronomischen Fragenstellungen jener Zeit, also Durchmesser und Bahn der Planeten, Konjunktion der Planeten miteinander und anderen Himmerlkörpern, Verlauf der Sonnen- und Mondbahn, Sonnen- und Mondfisternis sowie den Mondphasen. Das Laghubhaskariya beschäftig sich mit weiter gehenden Problemen die sich aus der Astronomie ergeben. Das Aryabhatiyabhasya enthält schließlich die Kommentare und Ergänzungen zu Aryabhatiya wobei bemerkenswerterweise lediglich das mathematische Werk Aryabhatiyas kommentiert wird. Nun konkret zu den matheamtischen Inhalten bei Bhaskhara I.: Lineare Diophantische Gleichung Darunter versteht man eine Gleichung vom Typ: ax ± c = by Dabei sind a,b und c gegebene ganze Zahlen und die ganzzahligen Unbekannten x,y werden gesucht. Bereits Aryabathiya versuchte eine Methode zur allgemeinen Lösungmethode mittels Kettenbrüchen zu finden, dies ist allerdings erst Bhaskhara geglückt. Bhaskhara formuliert die Kettenzerlegung wie folgt: bhajyam nyasedupari haramadhasca tasya khandayatparasparamadho binidhaya labdham kena hato' yamapaniya jathasya sesam bhagam dadati parisudhamiti pracintyam aptam matim tam binidhaya ballam nityam hyadho'dhah kramasasca labdham matya hatam syaduparisthitam ya llabdhena yuktam paratasca tadvat harena bhajyo bidhino paristho bhajyena nityam tadadhah' sthitasca aharganosmin bhaganadayasca tadva bhavedyasya samihitam yat "Set down the dividend above and the divisor below. Write down successively the quotients of their mutual division, one below the other, in the form of a chain. Now find by what number the last remainder should be multiplied, such that the product being subtracted by the (given) residue (of the revolution) will be exactly divisible (by the divisor corresponding to that remainder). Put down that optional number below the chain and then the (new) quotient underneath. Then multiply the optional number by that quantity which stands just above it and add to the product the (new) quotient (below). Proceed afterwards also in the same way. Divide the upper number (i.e. multiplier) obtained by this process by the divisor and the lower one by the dividend; the remainders will respectively be the desired ahargana and the revolutions."
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